Question

21．如图，椭圆Q:=1(a＞b＞0)的右焦点为F(c，0)，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P为线段AB的中点．

  (1)求点P的轨迹H的方程；

  (2)若在Q的方程中，令a²=1+cosθ+sinθ，b²=sinθ(0＜θ≤).确定θ的值，使原点距椭圆Q的右准线l最远．此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大?

Answer 1

解：如图，

 

（1）设椭圆Q：=1上的点A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂），又设P点坐标为P（x,y），则

1°当AB不垂直x轴时，x₁≠x₂,

由①-②得

b²(x₁-x₂)2x+a²(y₁-y₂)2y=0,

∴

∴b²x²+a²y²-b²cx=0,  ……………（*）

2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程(*).

故所求点P的轨迹H的方程为：b²x²+a²y²-b²cx=0.

（2）因为，椭圆Q右准线l方程是x=,原点距椭圆Q的右准线l的距离为，

由于c²=a²-b²,a²=1+cosθ+sinθ，b²=sinθ(0＜θ≤).

则=.

当θ=时，上式达到最大值，所以当θ=时，原点距椭圆Q的右准线l最远.

此时a²=2,b²=1,c=1,D(2,0),|DF|=1.

设椭圆Q：=1上的点A（x₁,y₁）、B(x₂,y₂)，

△ABD面积S=|y₁|+|y₂|=|y₁-y₂|.

设直线m的方程为x=ky+1,代入=1中，得(2+k²)y²+2ky-1=0.

由韦达定理得y₁+y₂=-,y₁y₂=-,

4S²=(y₁-y₂)²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=,

令t=k²+1≥1,得4S²≤=2,当t=1,k=0取等号.

因此，当直线m绕点F转动到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大.