Question

如图2-3-9,正方体有8个顶点和12条棱,每条棱上均有一个中点,于是有棱的中点12个,顶点与中点合起来共有20个〔图2-3-9(1)〕.过其中的两点可作一条直线;过其中不在同一直线上的三点可作一个平面.现在考虑这些直线与平面的垂直关系.

                                      图2-3-9

(1)试举出一直线与一平面相互垂直的例子(不少于4例).

(2)若一直线与一平面相互垂直,我们就说这条直线与这个平面构成了一个“垂直关系组”,两个“垂直关系组”当且仅当其中两条直线和两个平面不全同一时称为相异的(或不同的).试求与正方体的棱相关的“垂直关系组”的个数.

Answer 1

思路解析:在正方体中,所有的棱都和与它相交的面垂直,利用中点也可产生与棱垂直的面.

答案:如图2-3-10.

                                             图2-3-10

(1)例如AB⊥平面BCKJ;

例如EF⊥平面MPON〔如图2-3-10(1)〕;

例如NF⊥平面ADKJ〔如图2-3-10(2)〕;

例如IC⊥平面AJL〔如图2-3-10(3)〕.

(2)正方体的棱有12条,而每一条棱都与3个平面垂直,如图2-3-10(1)中棱IJ与平面ID、平面NP及平面JC都垂直,所以与正方体的棱相关的“垂直关系组”的个数是12×3=36.