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7.甲、乙两所学校的代表队参加汉字听写大赛.在比赛第二阶段,两队各剩最后两名队员上场.甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别
是0.6和0.8,乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是0.7.通过了第二阶段比赛的队员,才能进入第三阶段比赛(若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛,则该队进入第三阶段比赛人数为0).所有参赛队员比赛互不影响,其过程、结果都是彼此独立的.
(Ⅰ)求第三阶段比赛,甲、乙两队人数相等的概率;
(Ⅱ)X表示第三阶段比赛甲、乙两队的人数差的绝对值,求X的分布列和数学期望.

分析 (I)ξ、η分别表示甲、乙通过第二阶段比赛的人数,ξ、η的可能取值都是0,1,2.
根据题意得出P(ξ=0)=0.4×0.2,P(ξ=1)=0.6×0.2+0.4×0.8,
P(ξ=2)=0.6×0.8,P(η=0)=0.3×0.3=0.09,P(η=1)=2×0.7×0.3,P(η=2)=0.72
利用独立事件,互斥事件的概率求解得出第三阶段比赛,甲、乙两队人数相等的概率
(II)根据题意,随机变量X的所有可能取值为0,1,2.结合(I)给出的数据求解即可.

解答 解:(Ⅰ)设ξ、η分别表示甲、乙通过第二阶段比赛的人数,ξ、η的可能取值都是0,1,2.
P(ξ=0)=0.4×0.2=0.08,P(ξ=1)=0.6×0.2+0.4×0.8=0.44,
P(ξ=2)=0.6×0.8=0.48,
P(η=0)=0.3×0.3=0.09,P(η=1)=2×0.7×0.3=0.42,
P(η=2)=0.72=0.49.
设参加第三阶段比赛,甲、乙两队人数相等为事件A,则
P(A)=0.08×0.09+0.44×0.42+0.48×0.49=0.4272.
答:第三阶段比赛,甲、乙两队人数相等的概率为0.4272
(Ⅱ)根据题意,随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
由(Ⅰ)得,P(X=0)=P(A)=0.4272,
P(X=2)=0.48×0.09+0.49×0.08=0.0824,
∴P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1-0.4272-0.0824=0.4904.
∴X的分布列是

X012
P0.42720.49040.0824
∴E(X)=0×0.4272+1×0.4904+2×0.0824=0.6552

点评 本题考察了学生的阅读分析实际问题的能力,计算化简能力,离散型的概率问题,确定随机变量的概率的关系是关键.

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