Question

7．甲、乙两所学校的代表队参加汉字听写大赛．在比赛第二阶段，两队各剩最后两名队员上场．甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别
是0.6和0.8，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是0.7．通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛人数为0）．所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的．
（Ⅰ）求第三阶段比赛，甲、乙两队人数相等的概率；
（Ⅱ）X表示第三阶段比赛甲、乙两队的人数差的绝对值，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （I）ξ、η分别表示甲、乙通过第二阶段比赛的人数，ξ、η的可能取值都是0，1，2．
根据题意得出P（ξ=0）=0.4×0.2，P（ξ=1）=0.6×0.2+0.4×0.8，
P（ξ=2）=0.6×0.8，P（η=0）=0.3×0.3=0.09，P（η=1）=2×0.7×0.3，P（η=2）=0.7²，
利用独立事件，互斥事件的概率求解得出第三阶段比赛，甲、乙两队人数相等的概率
（II）根据题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，2．结合（I）给出的数据求解即可．

解答 解：（Ⅰ）设ξ、η分别表示甲、乙通过第二阶段比赛的人数，ξ、η的可能取值都是0，1，2．
P（ξ=0）=0.4×0.2=0.08，P（ξ=1）=0.6×0.2+0.4×0.8=0.44，
P（ξ=2）=0.6×0.8=0.48，
P（η=0）=0.3×0.3=0.09，P（η=1）=2×0.7×0.3=0.42，
P（η=2）=0.7²=0.49．
设参加第三阶段比赛，甲、乙两队人数相等为事件A，则
P（A）=0.08×0.09+0.44×0.42+0.48×0.49=0.4272．
答：第三阶段比赛，甲、乙两队人数相等的概率为0.4272
（Ⅱ）根据题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，2．
由（Ⅰ）得，P（X=0）=P（A）=0.4272，
P（X=2）=0.48×0.09+0.49×0.08=0.0824，
∴P（X=1）=1-P（X=0）-P（X=2）=1-0.4272-0.0824=0.4904．
∴X的分布列是

X	0	1	2
P	0.4272	0.4904	0.0824

∴E（X）=0×0.4272+1×0.4904+2×0.0824=0.6552

点评 本题考察了学生的阅读分析实际问题的能力，计算化简能力，离散型的概率问题，确定随机变量的概率的关系是关键．