【题目】设函数 .
(I)求的单调区间;
(II)当0<a<2时,求函数在区间上的最小值.
【答案】(I)递增区间为,单调递减区间为;(II)当时,;当时,.
【解析】
第一问定义域为真数大于零,得到..
令,则,所以或,得到结论。
第二问中,().
.
因为0<a<2,所以,.令可得.
对参数讨论的得到最值。
所以函数在上为减函数,在上为增函数.
(I)定义域为. ………………………1分
.
令,则,所以或. ……………………3分
因为定义域为,所以.
令,则,所以.
因为定义域为,所以. ………………………5分
所以函数的单调递增区间为,
单调递减区间为. ………………………7分
(II)().
.
因为0<a<2,所以,.令可得.…………9分
所以函数在上为减函数,在上为增函数.
①当,即时,
在区间上,在上为减函数,在上为增函数.
所以. ………………………10分
②当,即时,在区间上为减函数.
所以.
综上所述,当时,;
当时,
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【题目】在平面直角坐标系中,点,圆,点是圆上一动点,线段的中垂线与线段交于点.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)若直线与曲线相交于两点,且存在点(其中不共线),使得被轴平分,证明:直线过定点.
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【题目】已知抛物线的焦点曲线的一个焦点, 为坐标原点,点为抛物线上任意一点,过点作轴的平行线交抛物线的准线于,直线交抛物线于点.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)求证:直线过定点,并求出此定点的坐标.
【答案】(I);(II)证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)将曲线化为标准方程,可求得的焦点坐标分别为,可得,所以,即抛物线的方程为;(Ⅱ)结合(Ⅰ),可设,得,从而直线的方程为,联立直线与抛物线方程得,解得,直线的方程为,整理得的方程为,此时直线恒过定点.
试题解析:(Ⅰ)由曲线,化为标准方程可得, 所以曲线是焦点在轴上的双曲线,其中,故, 的焦点坐标分别为,因为抛物线的焦点坐标为,由题意知,所以,即抛物线的方程为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线的准线方程为,设,显然.故,从而直线的方程为,联立直线与抛物线方程得,解得
①当,即时,直线的方程为,
②当,即时,直线的方程为,整理得的方程为,此时直线恒过定点, 也在直线的方程为上,故直线的方程恒过定点.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知函数,
(Ⅰ)当时,求函数的单调递减区间;
(Ⅱ)若时,关于的不等式恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若数列满足, ,记的前项和为,求证: .
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【题目】如图(1),在平面六边形中,四边形是矩形,且, , ,点, 分别是, 的中点,分别沿直线, 将, 翻折成如图(2)的空间几何体.
(Ⅰ)利用下列结论1或结论2,证明: 、、、四点共面;
结论1:过空间一点作已知直线的垂面,有且仅有一个.
结论2:过平面内一条直线作该平面的垂面,有且仅有一个.
(Ⅱ)若二面角和二面角都是,求三棱锥的体积.
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【题目】祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子,他提出了一条原理:“幂势既同幂,则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指高.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体体积相等.一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型.设某双曲线型冷却塔是曲线 与直线, 和所围成的平面图形绕轴旋转一周所得,如图所示.试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法,求出此冷却塔的体积为_______.
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【题目】某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.
(1)求从甲、乙两组各抽取的人数;
(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;
(3)记X表示抽取的3名工人中男工人人数,求X的分布列和数学期望.
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【题目】某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动,抽奖箱里放有3个红球,3个黄球和1个蓝球(这些小球除颜色外大小形状完全相同),从中随机一次性取3个小球,每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下:
①凡购物满100(含100)元者,凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会;
②凡购物满188(含188)元者,凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会;
③若取得的3个小球只有1种颜色,则该顾客中得一等奖,奖金是一个10元的红包;
④若取得的3个小球有3种颜色,则该顾客中得二等奖,奖金是一个5元的红包;
⑤若取得的3个小球只有2种颜色,则该顾客中得三等奖,奖金是一个2元的红包.
抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据(单位:元),绘制得到如图所示的茎叶图.
(1)求这20位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数(结果精确到整数部分);
(2)记一次抽奖获得的红包奖金数(单位:元)为,求的分布列及数学期望,并计算这20位顾客(假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖)在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值.
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