如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,E为PB上的点,且2BE=EP.
(1)证明:AC⊥DE;
(2)若PC=BC,求二面角E-AC一P的余弦值.
(1)证明过程详见解析;(2).
解析试题分析:本题主要以四棱锥为几何背景考查线面垂直、线线垂直的判定和二面角的求法,可以用传统几何法,也可以用空间向量方法求解,突出考查空间想象能力和计算能力.第一问,先利用线面垂直得出线垂直于面内的任意一条线,得到
的条件后,利用线面垂直的判定定理得到
平面
,所以得证
;第二问,用向量法求解,先求出面
与面
的法向量,再利用夹角公式求夹角.
试题解析:(1)∵平面
,∴
,
∵底面是正方形,∴
,∴
平面
,
∵平面
,∴
. 5分
(2)以为原点,
所在的直线为
轴建立空间直角坐标系.
设,则
,因为
,
易知,
所以,
设平面的法向量为
,则
即,令
,得
,同理可取平面
的法向量
,
所以,所以二面角
的余弦值为
. 12分
考点:1.线面垂直的判定定理;2.向量法求二面角.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在四棱锥A-BCDE中,底面四边形BCDE是等腰梯形,BC∥DE, =45
,O是BC的中点,AO=
,且BC=6,AD=AE=2CD=2
,
(1)证明:AO⊥平面BCD;(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点M是A1B的中点,点N是B1C的中点,连接MN
(Ⅰ)证明:MN//平面ABC;
(Ⅱ)若AB=1,AC=AA1=,BC=2,求二面角A—A1C—B的余弦值的大小
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,且AB∥EF,矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直,已知AB=2,AD=EF=1.
(Ⅰ)设FC的中点为M,求证:OM∥平面DAF;
(Ⅱ)设平面CBF将几何体EF-ABCD分割成的两个锥体的体积分别为VF-ABCD、VF-CBE,求VF-ABCD:VF-CBE的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示的几何体ABCDFE中,△ABC,△DFE都是等边三角形,且所在平面平行,四边形BCED是边长为2的正方形,且所在平面垂直于平面ABC.
(Ⅰ)求几何体ABCDFE的体积;
(Ⅱ)证明:平面ADE∥平面BCF;
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