Question

20．已知二次函数f（x）在y轴上的截距为3，且满足f（x+2）-f（x）=4x+2．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在区间[-2，2]上，y=f（x）图象恒在直线y=-3x+m上方，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用条件f（x+2）-f（x）=4x+2，且f（0）=-1，建立方程即可求解可得函数的解析式，进而得到f（x）的单调递增区间；
（2）在区间[-2，2]上，y=f（x）图象恒在直线y=-3x+m上方，即m＜x²+2x+3在区间[-2，2]上恒成立，求出x²+2x+3在区间[-2，2]上的最小值，可得实数m的取值范围．

解答 解：（1）设二次函数f（x）=ax²+bx+c
∵函数f（x）在y轴上的截距为3，
∴f（0）=c=3，
∴f（x）=ax²+bx+3，
∵f（x+2）-f（x）=4x+2，
∴a（x+2）²+b（x+2）-ax²-bx=4x+2，
即4ax+4a+2b=4x+2，
∴4a=4且4a+2b=2，
解得a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x+3
∵f（x）=x²-x+3的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{1}{2}$为对称轴的抛物线，
故f（x）的单调递增区间为[$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）在区间[-2，2]上，y=f（x）图象恒在直线y=-3x+m上方，
∴在区间[-2，2]上，x²-x+3＞-3x+m恒成立，
即m＜x²+2x+3在区间[-2，2]上恒成立，
∵y=x²+2x+3的图象是开口朝上，且以直线x=-1为对称轴的抛物线，
故当x=-1时，函数的最小值为2，
故m＜2

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．