Question

12．已知函数f（x）=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+cos（4x-$\frac{π}{6}$）
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，求f（x）的最大值、最小值，及其取得最值时自变量的取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），有三角函数的周期性及其求法可求周期；
（2）利用正弦函数的图象和性质求出单调区间；
（3）根据三角形函数的取值范围，求出最值，以及自变量的取值集合．

解答 解：（1）f（x）=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+cos（4x-$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{3}$cos4x+cos$\frac{π}{3}$sin4x+cos4xcos$\frac{π}{6}$+sin4xsin$\frac{π}{6}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos4x+$\frac{1}{2}$sin4x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos4x+$\frac{1}{2}$sin4x=$\sqrt{3}$cos4x+sin4x=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），
∴T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$．
∴f（x）的最小正周期为$\frac{π}{2}$；
（2）递减区间满足：$\frac{π}{2}$+2kπ≤4x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴递减区间为[$\frac{π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{7π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$]，k∈Z．
递增区间满足：-$\frac{π}{2}$+2kπ≤4x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴递增区间为[-$\frac{5π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$]．k∈Z．
∴f（x）在[-$\frac{5π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$]．k∈Z为增函数，在[$\frac{π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{7π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$]，k∈Z为减函数；
（3）当{x|4x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ}，即{x|x=$\frac{π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z}时，函数f（x）有最大值，最大值为2，
当{x|4x+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$+2kπ}，即{x|x=$\frac{7π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z}时，函数f（x）有最小值，最小值为-2．

点评 本题考查三角函数的最小正周期、递减区间和递增区间的求法，注意正弦加法定理、余弦加法定理、正弦函数性质的合理运用，属于中档题．