Question

已知x，y∈R，则（x+y）²+（x-

1

y

-1）²的最小值为（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  2

• C．

  2

  2

• D．2

  2

  -

  1

  2

Answer 1

分析：由两点间距离公式，将（x+y）²+（x-

1

y

-1）²看成两点（x，x-1），（-y，

1

y

）间的距离的平方，第一个点在直线 y=x-1上，第二个点在反比例函数y=-

1

x

的图象上，故原题转化为在直线上找一个点，使得它到图象y=-

1

x

的距离的平方最小值．

解答：解：由两点间距离公式，将所求看成两点间的距离的平方，
其中一个点为（x，x-1），另一个点为 （-y，

1

y

），
第一个点在直线 y=x-1上，第二个点在反比例函数y=-

1

x

的图象上，
转化为在直线上找一个点，使得它到图象y=-

1

x

的距离的平方最小，

∵反比例函数y=-

1

x

的图象关于y=-x对称，
直线y=x-1也关于y=-x对称，
观察l图象知顶点P（1，-1）到直线y=x-1的距离最短，
最短距离d=

|1+1-1|

2

=

1

2

，
∴（x+y）²+（x-

1

y

-1）²的最小值=(

1

2

)2=

1

2

．
故选B．

点评：本题考查两点间距离公式的应用和点到直线的距离公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意数形结合思想的合理运用．