Question

（2013•河池模拟）已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N⁺）
（1）证明：数列{a_n+1-a_n }是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）将已知的递推关系变形，利用等比数列的定义，证得数列{a_n+1-a_n}成等比数列．
（2）利用等比数列的通项公式求出a_n+1-a_n=2ⁿ，然后根据a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁求出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）证明：∵a_n+2=3a_n+1-2a_n
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n）
又a₁=1，a₂=3
即

an+2-an+1

an+1-an

=2
∴数列{a_n+1-a_n}是以2为 首项，2为公比的等比数列
（2）由（1）知a_n+1-a_n=2ⁿ
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1
=2ⁿ-1

点评：本题考查证明数列是等比数列常用数列的方法：是定义法与等比中项的方法；注意构造新数列是求数列的通项的常用的方法．