Question

已知向量

a

=(

3

，cosωx)，

b

=(sinωx，1)（ω＞0），函数f（x）=

a

•

b

，且最小正周期为4π．
（1）求ω的值；
（2）设α，β∈[

π

2

，π]，f(2α-

π

3

)=

6

5

，f(2β+

2π

3

)=-

24

13

，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）根据所给的两个向量的坐标和函数的表示式，根据两个向量的数量积的坐标形式写出三角函数式，利用辅助角公式写出最简形式，利用周期求出ω．
（2）根据所给的α，β∈[

π

2

，π]，写出的α，β范围，根据f(2α-

π

3

)=

6

5

，求出sinα，cosα，以及sinβ，cosβ，利用两角和的正弦函数求解sin（α+β）的值．

解答：解：（1）向量

a

=(

3

，cosωx)，

b

=(sinωx，1)（ω＞0），
函数f（x）=

a

•

b

=

3

sinωx+cosωx=2sin（ωx+

π

6

），
∴函数的周期为T=

2π

ω

=4π，
∴ω=

1

2

．
（2）由（1），可知，f（x）=2sin（

1

2

x+

π

6

），
则f(2α-

π

3

)=2sin[(α-

π

6

)+

π

6

]=2sinα=

6

5

．
∴sinα=

3

5

，
又α∈[

π

2

，π]，
∴cosα=-

1-sin2α

=-

4

5

，
又f(2β+

2π

3

)=-

24

13

，
∴2sin[(β+

π

3

)+

π

6

]=2sin(β+

π

2

)=2cosβ=-

24

13

∴cosβ=-

12

13

，
又β∈[

π

2

，π]，∴sinβ=

1-cos2β

=

5

13

，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

3

5

×(-

12

13

)+(-

4

5

)×

5

13

=-

56

65

．

点评：本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．