Question

（2013•松江区一模）已知z∈C，且满足|z|2+(z+

.

z

)i=5+2i．
（1）求z；
（2）若m∈R，w=zi+m，求证：|w|≥1．

Answer 1

分析：（1）利用复数模的定义、互为共轭复数的意义及复数相等的定义即可解出；
（2）利用复数模的计算公式即可证明．

解答：解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），则|z|²=a²+b²，(z+

.

z

)i=2ai，
由|z|2+(z+

.

z

)i=5+2i得a²+b²+2ai=5+2i
关键复数相等的定义可得

a2+b2=5 2a=2

解得

a=1 b=2

或  

a=1 b=-2

．
∴z=1+2i或z=1-2i．
（2）当z=1+2i时，|w|=|zi+m|=|(1+2i)i+m|=|-2+i+m|=

(m-2)2+1

≥1，
当z=1-2i时，|w|=|zi+m|=|(1-2i)i+m|=|2+i+m|=

(m+2)2+1

≥1，
综上可得：|w|≥1．

点评：熟练掌握复数模的定义、互为共轭复数的意义及复数相等的定义是解题的关键．