【题目】设,函数,有无数个零点,则实数的最大值为___________.
【答案】
【解析】
根据分段函数解析式,当x≤0时,图象是射线;当0<x≤a时,﹣a<x﹣a≤0,f(x)=﹣2f(x﹣a)的图象是把(﹣a,0]的图象每个点纵坐标乘以﹣2,再向右平移a个单位长度;当a<x≤2a时,f(x)=﹣2f(x﹣a)的图象是把(0,a]的图象每个点纵坐标乘以﹣2,再向右平移a个单位长度;以此类推,因此如果f(x)有无数个零点,则只要f(x)在(﹣a,0]上有零点即可.
解:因为a>0,函数,
当x≤0时,图象是射线;
当0<x≤a时,﹣a<x﹣a≤0,f(x)=﹣2f(x﹣a)的图象是把(﹣a,0]的图象每个点纵坐标乘以﹣2,再向右平移a个单位长度;
当a<x≤2a时,f(x)=﹣2f(x﹣a)的图象是把(0,a]的图象每个点纵坐标乘以﹣2,再向右平移a个单位长度;以此类推;
若f(x)有无数个零点,则只要f(x)在(﹣a,0]上有零点,即x∈(﹣a,0],
∴a∈(,1],故a的最大值为1;
故答案为:1.
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【题目】已知函数f(x)=|2x﹣3|+x+1.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)当x≥1时,关于x的不等式f(2x)<4x+2a恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】某地煤气公司规定,居民每个月使用的煤气费由基本月租费、保险费和超额费组成.每个月的保险费为3元,当每个月使用的煤气量不超过am3时,只缴纳基本月租费c元;如果超过这个使用量,超出的部分按b元/m3计费.
(1)请写出每个月的煤气费y(元)关于该月使用的煤气量x(m3)的函数解析式;
(2)如果某个居民7~9月份使用煤气与收费情况如下表,请求出a,b,c,并画出函数图象;
月份 | 煤气使用量/m3 | 煤气费/元 |
7 | 4 | 4 |
8 | 10 | 10 |
9 | 16 | 19 |
其中,仅7月份煤气使用量未超过am3.
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【题目】给出下列四个结论:
①当a为任意实数时,直线(a﹣1)x﹣y+2a+1=0恒过定点P,则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是;
②已知双曲线的右焦点为(5,0),一条渐近线方程为2x﹣y=0,则双曲线的标准方程是;
③抛物线的准线方程为.
④已知双曲线,其离心率e∈(1,2),则m的取值范围是(﹣12,0).
其中正确命题的序号是___________.(把你认为正确命题的序号都填上)
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【题目】为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重(kg),得到频率分布直方图如下:求:
(1)根据直方图可得这100名学生中体重在(56,64)的学生人数.
(2)请根据上面的频率分布直方图估计该地区17.5-18岁的男生体重.
(3)若在这100名男生中随意抽取1人,该生体重低于62的概率是多少?
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【题目】某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况,从本市全体高一学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析。经数据处理后,得到了如下图1所示的频事分布直方图,并发现这100名学生中,身不低于1.69米的学生只有16名,其身高茎叶图如下图2所示,用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率.
(I)求该市高一学生身高高于1.70米的概率,并求图1中的值.
(II)若从该市高一学生中随机选取3名学生,记为身高在的学生人数,求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)若变量满足且,则称变量满足近似于正态分布的概率分布.如果该市高一学生的身高满足近似于正态分布的概率分布,则认为该市高一学生的身高发育总体是正常的.试判断该市高一学生的身高发育总体是否正常,并说明理由.
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【题目】已知椭圆: 过点,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2), 是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于, 两点, 交椭圆于另一个点,求面积取得最大值时直线的方程.
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