Question

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（a≠0）有且仅有唯一的实数x满足f（x）≤0．
（1）数列{a_n}前n项和S_n满足S_n=f（n）-4，求{a_n}的通项公式；
（2）从数列{a_n}中依次取出第1项，第2项，第4项，…第2^n-1项，…组成子数列{b_n}，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（1）∵二次函数f（x）=x²-ax+a（a≠0）有且仅有唯一的实数x满足f（x）≤0
∴△=a²-4a=0
∴a=4
∴f（x）=x²-4x+4
∵S_n=f（n）-4=n²-4n+4-4=n²-4n
当n=1时，S₁=n²-4n=-3
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=2n-5
综上：a_n=2n-5
（2）根据题意：b_n=
∴s_n=2¹+2²+…+2ⁿ-5n==2ⁿ⁺¹-2-5n
分析：（1）由“二次函数f（x）=x²-ax+a（a≠0）有且仅有唯一的实数x满足f（x）≤0”则函数图象与x轴只有一个交点，则通过△=a²-4a=0求解a从而有f（x）=x²-4x+4，得到S_n=f（n）-4=n²-4n+4-4=n²-4n，最后由通项与前n项和的关系求解．
（2）由综上：a_n=2n-5，用换元法可求得b_n=，是一个等比数列与等差数列和的形式，分别通过其前n项和求解．
点评：本题主要考查函数与数列的综合运用，主要涉及了数列的通项，前n项和及其关系，以及构造数列研究其通项与求和问题．