Question

设命题p：关于x的不等式a^x＞1（0＜a＜1，或a＞1）的解集是{x|x＜0}，命题q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．
（1）如果“p且q”为真，求实数a的取值范围；
（2）如果“p且q”为假，“p或q”为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先求出命题P与命题q为真命题的等价条件．
（1）由复合命题真值表得，若“p且q”为真命题，则命题P，q都是真命题，确定实数m的范围．
（2）由复合命题真值表得：若p∨q为真，p∧q为假，则命题P，q一真一假，确定实数m的取值范围．

解答：解：若p为真命题，即关于x的不等式a^x＞1的解集是{x|x＜0}，则0＜a＜1，
若q为真命题，即函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．则

a＞0 △=1-4a2＜0

⇒a＞

1

2

，
（1）由复合命题真值表得，若“p且q”为真命题，则命题P，q都是真命题，
故a的取值范围是

1

2

＜a＜1；
（2）由复合命题真值表得，若且q”为假，“p或q”为真，则命题P，q一真一假，
若命题P为真，命题q为假时，0＜a≤

1

2

若命题P为假，命题q为真，a＞1，
所以实数a的取值范围是：0＜a≤

1

2

或a＞1．

点评：本题主要考查复合命题真假判定，利用指数函数与对数函数的性质求出命题成立的等价条件是解决的关键．