Question

已知函数y=x+

m

x-1

（m为正数）．
（1）若m=1，求当x＞1时函数的最小值；
（2）当x＜1时，函数有最大值-3，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）若m=1，求当x＞1时函数的最小值，由函数的形式可以看出，求最小值可用基本不等式求解；
（2）当x＜1时，函数有最大值-3，求实数m的值，在本题条件下，x-1＜0，仍可用基本不等式求最值，利用等号成立的条件求参数m的值．

解答：解：（1）m=1时，y=x+

1

x-1

=x-1+

1

x-1

+1．因为x＞1，所以x-1＞0．
所以y=x-1+

1

x-1

+1≥2+1=3．（3分）
当且仅当x-1=

1

x-1

，即x=2时取等号．（4分）
所以当x＞1时函数的最小值为3．（5分）

（2）因为x＜1，所以x-1＜0．
所以y=x-1+

m

x-1

+1=-（1-x+

m

1-x

）+1≤-2

m

+1．（7分）
当且仅当1-x=

m

1-x

，即x=1-

m

时取等号．（8分）
即函数的最大值为-2

m

+1．所以-2

m

+1=-3．（9分）
解得m=4．（10分）

点评：本题考查用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值要注意验证等号成立的条件，免致出错，本题中第二问利用等号成立的条件求参数，是基本不等式的一个比较重要的拓广应用．