Question

【题目】已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D，E分别是AB，A1C1的中点，如图所示．
（1）求证：DE∥平面BCC1B1；
（2）求DE与平面ABC所成角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AC的中点F，连结EF，DF，

∵D，E，F分别是AB，A1C1，AC的中点，

∴EF∥CC1，DF∥BC，又DF∩EF=F，AC∩CC1=C，

∴平面DEF∥平面BCC1B1，

又DE平面DEF，

∴DE∥平面BCC1B1．

（2）解：∵EF∥CC1，CC1⊥平面BCC1B1．

∴EF⊥平面BCC1B1，

∴∠EDF是DE与平面ABC所成的角，

设三棱柱的棱长为1，则DF= ，EF=1，

∴tan∠EDF= ．

【解析】（1）取AC的中点F，连结EF，DF，则EF∥CC1，DF∥BC，故平面DEF∥平面BCC1B1，于是DE∥平面BCC1B1．（2）在Rt△DEF中求出tan∠EDF．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．