Question

18．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，△ADE为等边三角形，且平面ADE⊥平面ABCD，EF $\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，点G为CD的中点．
（Ⅰ）证明：BD⊥EG；
（Ⅱ）求直线DE与平面BCF所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD中点O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BD⊥EG．
（Ⅱ）求出平面BCF的法向量和$\overrightarrow{DE}$，利用向量法能求出直线DE与平面BCF所成的角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取AD中点O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AB=2，由B（0，$\sqrt{3}$，0），D（-1，0，0），E（0，0，$\sqrt{3}$），G（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
$\overrightarrow{BD}$=（-1，-$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{EG}$=（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{EG}$=$\frac{3}{2}-\frac{3}{2}$+0=0，
∴BD⊥EG．
解：（Ⅱ）C（-2，$\sqrt{3}$，0），F（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{DE}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（-2，0，0），$\overrightarrow{BF}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$），
设平面BCF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-2x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，2，1），
设直线DE与平面BCF所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$．
∴直线DE与平面BCF所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{10}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．