Question

已知递增的等差数列{a_n}满足：a₂a₃=45，a₁+a₄=14
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）设b_n=

an+1

Sn

，求数列{b_nb_n+1}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列的性质得：a₂+a₃=14，再由条件构造方程x²-14x+45=0求根，且a₂＜a₃，求出a₂和a₃，求出首项和公差，代入通项公式和前n项和公式化简；
（2）由（1）和题意求出b_n，再代入bn•bn+1并裂项，再代入T_n相消后化简整理即可．

解答：解：（1）由题意得，a₁+a₄=14，则a₂+a₃=14，
∵a₂a₃=45，∴a₂、a₃是方程x²-14x+45=0的两根，
∵等差数列{a_n}是递增数列，∴a₂＜a₃，
解得a₂=5，a₃=9，公差d=4，a₁=1，
∴a_n=4n-3，
S_n=

n(a1+an)

2

=

n(1+4n-3)

2

=2n²-n，
（2）由（1）得，b_n=

an+1

Sn

=

4n-2

2n2-n

=

2

n

，
则bn•bn+1=

4

n(n+1)

=4（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=b1•b2+b2•b3+…+bn•bn+1
=4[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=4（1-

1

n+1

）=

4n

n+1

．

点评：本题考查了等差数列的性质、通项公式和前n项和公式的灵活应用，以及裂项相消法求和问题．