Question

7．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的一段图象如图所示，则过点P（ω，φ），且斜率为A的直线方程是（　　）

• A． y-$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$（x-2）
• B． y-$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$（x-4）
• C． y-$\frac{2π}{3}$=2（x-4）
• D． y-$\frac{2π}{3}$=2（x-2）

Answer 1

分析 根据条件求出函数的周期，求出A，ω和φ的值，结合直线的点斜式方程进行求解即可．

解答 解：由图象知是函数的周期T=2[$\frac{5π}{24}$-（-$\frac{π}{24}$）]=2×$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，
则ω=4，即f（x）=Asin（4x+φ），
∵f（$\frac{5π}{24}$）=Asin（4×$\frac{5π}{24}$+φ）=-A，
∴sin（$\frac{5π}{6}$+φ）=-1，则$\frac{5π}{6}$+φ=$\frac{3π}{2}$+2kπ，
即φ=$\frac{2π}{3}$+2kπ，
∵0＜φ＜π，∴当k=0时，φ=$\frac{2π}{3}$，
则f（x）=Asin（4x+$\frac{2π}{3}$），
∵f（0）=$\sqrt{3}$，
∴Asin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$，
即$\frac{\sqrt{3}}{2}$A=$\sqrt{3}$，则A=2，
即直线过点P（4，$\frac{2π}{3}$），且斜率为2的直线方程为y-$\frac{2π}{3}$=2（x-4），
故选：C

点评 本题主要考查三角函数的解析式的求解以及直线方程的求解，利用数形结合求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．