Question

（2012•武昌区模拟）已知点P在半径为1的半圆周上沿着A→P→B路径运动，设弧   的长度为x，弓形面积为f（x）（如图所示的阴影部分），则关于函数y=f（x）的有如下结论：
①函数y=f（x）的定义域和值域都是[0，π]；
②如果函数y=f（x）的定义域R，则函数y=f（x）是周期函数；
③如果函数y=f（x）的定义域R，则函数y=f（x）是奇函数；
④函数y=f（x）在区间[0，π]是单调递增函数．
以上结论的正确个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：先求出阴影部分对应的函数解析式y=f（x，确定函数的定义域与单调性，确定函数的值域，即可得到结论．

解答：解：因为S_扇形=

1

2

×1×1×x=

1

2

x，S△OAP=

1

2

×1×sinx=

1

2

sinx，
所以y=f（x）=

1

2

x-

1

2

sinx，它的定义域是[0，π]，
∴f′(x)=

1

2

-

1

2

cosx≥0，∴y=f（x）在区间[0，π]上是增函数，∴0≤f（x）≤

π

2

，
显然该函数不是周期函数，如果函数y=f（x）的定义域R，则函数y=f（x）是奇函数，
故①、②不正确，③和④正确，
故选B．

点评：考查学生创新意识和解决实际问题的能力，考查运用数学知识解决实际问题的能力，考查函数的基本性质．