Question

如下图，已知△OFQ的面积为S，且·=1，

(1)若S的范围为<S<2,求向量与的夹角θ的取值范围；
(2)设||=c(c≥2),S=c,若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当||取得最小值时，求此椭圆的方程.

Answer 1

(1) <θ<arctan4.
(2) 椭圆方程为.

本题考查向量的基本知识、三角知识及最值问题在解析几何中的综合运用.
(1)∵·=1,∴||·||·cosθ=1.
又||·||·sin(180°－θ)=S,
∴tanθ=2S,S=.
又<S<2,∴<<2,即1<tanθ<4,
∴<θ<arctan4.
(2)以所在的直线为x轴，以的过O点的垂线为y轴建立直角坐标系(如下图).

∴O(0,0),F(c,0),Q(x₀,y₀).
设椭圆方程为+=1.
又·=1，S=c,
∴(c,0)·(x₀－c,y₀)="1.                                                                                            " ①
·c·|y₀|=c.                                                                                                 ②
由①得c(x₀－c)=1x₀=c+.
由②得|y₀|=.
∴||==.
∵c≥2,
∴当c=2时，||_min==,
此时Q(，±)，F(2，0).
代入椭圆方程得
∴a²=10,b²=6.
∴椭圆方程为.
评析:新知识(向量)在几何中的应用是值得关注的趋势.