Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥BC，且PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$CD，BE=$\frac{1}{3}$BP．
（1）求证：PD∥平面AEC；
（2）求二面角A-CE-P的余弦值．

Answer 1

分析 （1）过A作AF∥BC，交CD于F，以A为原点，AF为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PD∥平面AEC．
（2）求出平面PCE的法向量和平面ACE的法向量，由此利用向量法能求出平面二面角A-CE-P的平面角．

解答 （1）证明：过A作AF∥BC，交CD于F，
∵在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥BC，且PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$CD，BE=$\frac{1}{3}$BP，
∴以A为原点，AF为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=1，则P（0，0，1），D（1，-1，0），A（0，0，0），
B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），
$\overrightarrow{PD}$=（1，-1，-1），$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{2}{3}，\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），
设平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=1+1-2=0$，且PD?平面AEC，
∴PD∥平面AEC．
（2）解：设平面PCE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
∵$\overrightarrow{PC}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{PE}$=（0，$\frac{2}{3}，-\frac{2}{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=a+b-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PE}=\frac{2}{3}b-\frac{2}{3}c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}=（0，1，1）$，
由（1）得平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
设二面角A-CE-P的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$|=$\frac{0-1+2}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴二面角A-CE-P的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．