学校操场边有一条小沟,沟沿是两条长150米的平行线段,沟宽为2米,.与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线.抛物线的顶点为.对称轴与地面垂直.沟深2米.沟中水深1米．(Ⅰ)求水面宽,(Ⅱ)如图1所示形状的几何体称为柱体.已知柱体的体积为底面积乘以高.求沟中的水有多少立方米?(Ⅲ)现在学校要把这条水沟改挖成截面为等腰梯形的沟.使沟的底面与地面平行.沟深� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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学校操场边有一条小沟,沟沿是两条长150米的平行线段,沟宽为2米,，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为，对称轴与地面垂直，沟深2米，沟中水深1米．
（Ⅰ）求水面宽；
（Ⅱ）如图1所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，求沟中的水有多少立方米？

（Ⅲ）现在学校要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，沟深不变，两腰分别与抛物线相切（如图2），问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？

（Ⅰ）;（Ⅱ）；（Ⅲ）;

解析试题分析：（Ⅰ）建立适当直角坐标系，设抛物线方程为，由抛物线过点，可得，可求出抛物线方程为，当时，，由求出水面宽为（米）；
（Ⅱ）利用定积分求出曲面的面积，再利用柱体的体积公式求出体积；
（Ⅲ）易知为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须同抛物线相切，设切点是抛物线弧上的一点，过作抛物线的切线得到如上图所示的直角梯形，则切线的方程为：，于是，记梯形的面积为，则，利用基本不等式求出当且仅当，时，等号成立，所以改挖后的沟底宽为米时，所挖的土最少.
试题解析：（Ⅰ）如图建立直角坐标系，

设抛物线方程为．
则由抛物线过点，可得．
于是抛物线方程为．
当时，，由此知水面宽为（米）．
（Ⅱ）（立方米）
（Ⅲ）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须同抛物线相切．
设切点是抛物线弧上的一点，过作抛物线的切线得到如上图所示的直角梯形，则切线的方程为：，于是．
记梯形的面积为，则，
当且仅当，时，等号成立，所以改挖后的沟底宽为米时，所挖的土最少.
考点：1.抛物线的标准方程；2.定积分的应用；3.基本不等式在求函数的最值中的应用.

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(1)若对任意x∈[1，e]，都有g(x)≥－x²＋(a＋2)x恒成立，求a的取值范围；
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已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x³＋x² (f′(x)是f(x)的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；
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