Question

已知点A（2，0），B（2，1），C（0，1），动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足

OM

•

AM

=k(

CM

•

BM

-d2)，其中O为坐标原点，k为参数．
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；
（Ⅱ）如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足

3

3

≤e≤

2

2

，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设M（x，y），利用题目中向量的坐标运算，求得向量的坐标后代入题中向量条件，化简即得轨迹方程，为了说明它是什么类型，必须对参数k进行讨论；
（2）依据圆锥曲线离心率的范围得曲线是椭圆，依据椭圆形式求得离心率的表达式，建立不等关系求实数k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），
则

OM

=(x，y)，

AM

=(x-2，y)，

CM

=(x，y-1)，

BM

=(x-2，y-1)，
d=|y-1|．（2分）
代入

OM

•

AM

=k(

CM

•

BM

-d2)
得（1-k²）x²+2（k-1）x+y²=0为所求轨迹方程（3分）
当k=1时，得y=0，轨迹为一条直线；（4分）
当k≠1时，得(x-1)2+

y2

1-k

=1
若k=0，则点M的轨迹为圆；（5分）
若k＞1，则点M的轨迹为双曲线；（6分）
若0＜k＜1或k＜0，则点M的轨迹为椭圆（7分）
（Ⅱ）因为

3

3

≤e≤

2

2

，
所以方程表示椭圆（9分）
对于方程(x-1)2+

y2

1-k

=1
①当0＜k＜1时，a²=1，b²=1-k，c²=a²-b²=1-（1-k）=k
此时e2=

c2

a2

=k，而

3

3

≤e≤

2

2

，
所以

1

3

≤k≤

1

2

.（11分）
②当k＜0时，a²=1-k，b²=1，c²=-k
所以e2=

k

k-1

，即

1

3

≤

k

k-1

≤

1

2

．所以-1≤k≤-

1

2

.（13分）
所以k∈[-1，-

1

2

]∪[

1

3

，

1

2

].（14分）

点评：本题在向量与圆锥曲线交汇处命题，考查了向量的坐标和数量积运算、曲线方程的求法、椭圆的定义以及等价转化能力．