Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-a|．
（1）若f（x）≤m的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a，m的值；
（2）当a=2且t≥0时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．

Answer 1

分析：（1）由f（x）≤m，可得a-m≤x≤a+m．再由f（x）≤m的解集为{x|-1≤x≤5}，可得

a-m=-1 a+m=5

，由此求得实数a，m的值．
（2）当a=2时，关于x的不等式即|x|-|x-2|≤t ①．令h（t）=|x|-|x-2|=

2 ， x≥2 2x-2 ，0＜x＜2 -2 ， x≤0

，可得函数h（x）的最大值和最小值．
分当t≥2和0≤t＜2两种情况，分别求得不等式的解集．

解答：解：（1）由于函数f（x）=|x-a|，由f（x）≤m可得-m≤x-a≤x+a，即a-m≤x≤a+m．
再由f（x）≤m的解集为{x|-1≤x≤5}，可得

a-m=-1 a+m=5

，解得 

a=2 m=3

．
（2）当a=2时，f（x）=|x-2|，关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2），即|x|-|x-2|≤t．
令h（t）=|x|-|x-2|=

2 ， x≥2 2x-2 ，0＜x＜2 -2 ， x≤0

，故函数h（x）的最大值为2，最小值为-2，不等式即 h（x）≤t．
①当t≥2时，不等式 h（x）≤t恒成立，故原不等式的解集为R．
②当 0≤t＜2时，（1）若x≤0，则h（x）=-2，h（x）≤t 恒成立，不等式的解集为{x|x≤0}．
                （2）若 0＜x＜2，此时，h（x）=2x-2，不等式即 2x-2≤t，解得 x≤

t

2

+1，即此时不等式的解集为 {x|0＜x≤

t

2

+1 }．
综上可得，当t≥2时，不等式的解集为R； ②当 0≤t＜2时，不等式的解集为 {x|x≤

t

2

+1 }．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．