Question

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求•的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）椭圆中，a=2，b=1，c=，
∴，，
设p（x，y），则-x，-y）=x²+y²-3，
∵x∈[-2，2]，∴当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值-2．
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1．
（Ⅱ）∵直线x=0不满足题设条件，
∴设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立，消去y，得，
∵过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，
∴=4k²-3＞0，
解得k＞，或．
分析：（Ⅰ）椭圆中，a=2，b=1，c=，，，设p（x，y），则-x，-y）=x²+y²-3，由x∈[-2，2]，能求出•的最大值和最小值．
（Ⅱ）设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立，得，由=4k²-3＞0，能求出直线l的斜率k的取值范围．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合运用，具体涉及到椭圆的简单性质、韦达定理、根与系数的关系等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答．