Question

椭圆的右焦点为F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E交于A，B，两点，|AF|+|BF|=4，的最小值为0.5．
（I）求椭圆E的方程；
（II）若直线l：y=kx+m与椭圆E交于M，N两点（其中5m+6k≠0），以线段MN为直径的圆过E的右顶点，求证：直线l过定点．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用椭圆的对称性，根据过原点和x轴不重合的直线与椭圆E交于A，B，两点，|AF|+|BF|=4，可求得a=2；利用正弦定理，结合的最小值为0.5，可求得b=1，从而可求椭圆E的方程；
（II）将直线方程与椭圆方程联立得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．由题意得△＞0，即m²-1-4k²＜0．
设交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根据以线段MN为直径的圆过E的右顶点可得（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，从而有（m+2k）（5m+6k）=0，注意到5m+6k≠0，解得m=-2k，由此可证直线l过定点
解答：解：（I）设椭圆的左焦点为F′，由椭圆的对称性，
因为|AF|+|BF|=4，所以|AF|+|AF′|=4，所以2a=4，即a=2，
在三角形AFB中，由正弦定理得
因为0≤x₁²≤a²，所以
所以b=1
所以所求椭圆方程为；…5分
（Ⅱ） 由得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．
由题意得△＞0，即m²-1-4k²＜0．（※）

设交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则
 
因为以MN为直径的圆过C（2，0），∴
∵=（x₁-2，y₁），═（x₂-2，y₂），
所以（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
即（x₁-2）（x₂-2）+（k x₁+m）（kx₂+m ）=0，整理得
5m²+16km+12k²=0，（m+2k）（5m+6k）=0，注意到5m+6k≠0
 故解得m=-2k．经检验，满足（※）式．
m=-2k时，直线方程为y=k（x-2），恒过定点（2，0）…12分
点评：本题以椭圆的性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线恒过定点问题，解题的关键是联立方程组，利用韦达定理，合理转化．