Question

已知方程C：x²+y²-2x-4y+m=0，
（1）若方程C表示圆，求实数m的范围；
（2）在方程表示圆时，该圆与直线l：x+2y-4=0相交于M、N两点，|MN|=

4

5

5

，求m的值；
（3）在（2）的条件下，定点A（1，0），P在线段MN上运动，求直线AP的斜率取值范围．

Answer 1

分析：（1）由D²+E²-4F＞0，即可求得实数m的范围；
（2）利用圆心（1，2）到直线l：x+2y-4=0的距离公式可求得圆心到直线距离d，利用圆的半径、弦长之半、d构成的直角三角形即可求得m的值；
（3）将圆的方程与直线l的方程联立可求得M，N的坐标，利用k_AM，k_AN即可求得直线AP的斜率取值范围．

解答：解：（1）由D²+E²-4F＞0，得4+16-4m＞0，所以m＜5…（4分）
（2）∵（x-1）²+（y-2）²=5-m，
∴圆心（1，2）到直线l：x+2y-4=0的距离d=

1

5

，
又圆（x-1）²+（y-2）²=5-m的半径r=

5-m

，
|MN|=

4

5

5

，
所以(

2 5

5

)2+(

1

5

)2=5-m，得m=4…（8分）
（3）联立

x2+y2-2x-4y+4=0 x+2y-4=0

，解得M（0，2），N（

8

5

，

6

5

），…（12分）
而点A（1，0），
∴k_AM=-2，k_AN=2
∴k≥2或k≤-2…（14分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线间的距离公式，考查方程思想与逻辑思维能力，属于中档题．