Question

【题目】已知函数f(x)＝x2＋lnx.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)求证：当x>1时， x2＋lnx<x3.

Answer 1

【答案】 (1) f(x)的单调增区间为(0，＋∞) (2)略

【解析】

（1）对函数求导，根据定义域，即可判断其单调性，从而知单调区间。

（2）证明当x>1时，，只需证当x>1时，，

可设，只需证明时，，因此，利用导数研究的单调性，得出，结论得证。

(1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}，

∵f′(x)＝x＋，故f′(x)>0，∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．

(2)设g(x)＝x3－x2－lnx，∴g′(x)＝2x2－x－，

∵当x>1时，g′(x)＝>0，

∴g(x)在(1，＋∞)上为增函数，∴g(x)>g(1)＝>0，

∴当x>1时， x2＋lnx<x3.