Question

【题目】如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设 ， ，则得到函数y=f（x）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）对于任意a∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】解：（1）如图所示，建立直角坐标系．

∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），

∴B（0，0），A（﹣2，0），D（﹣1，a），C（0，a）．

∵ =x ，（0≤x≤1）．

∴ = +x =（﹣2，0）+x（1，a）=（x﹣2，xa），

∴ = ﹣ =（0，a）﹣（x﹣2，xa）=（2﹣x，a﹣xa）

∴y=f（x）= =（2﹣x，﹣xa）（2﹣x，a﹣xa）

=（2﹣x）2﹣ax（a﹣xa）

=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．

∴f（1）=a2+1﹣（4+a2）+4=1

（Ⅱ）由y=f（x）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．

可知：对称轴x0= ．

当0＜a≤ 时，1＜x0，∴函数f（x）在[0，1]单调递减，因此当x=0时，函数f（x）取得最大值4．

当a＞ 时，0＜x0＜1，函数f（x）在[0，x0）单调递减，在（x0，1]上单调递增．

又f（0）=4，f（1）=1，

∴f（x）max=f（0）=4．

综上所述函数f（x）的最大值为4

【解析】（Ⅰ）画出图形，建立直角坐标系，即得y=f（x）的解析式，代值计算即可（Ⅱ）通过分类讨论，利用二次函数的单调性即可判断出．