Question

已知⊙C经过点A（2，4）、B（3，5）两点，且圆心C在直线2x-y-2=0上．
（1）求⊙C的方程；
（2）若直线y=kx+3与⊙C总有公共点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，由⊙C经过点A（2，4）、B（3，5）两点，且圆心C在直线2x-y-2=0上，构造关于D，E，F的三元一次方程组，解方程组后可得⊙C的方程；
（2）若直线y=kx+3与⊙C总有公共点，则联立直线和圆的方程后，所得方程有根，即对应的△≥0，解不等式可得实数k的取值范围

解答：解：（1）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则

22+42+2D+4E+F=0 32+52+3D+5E+F=0 2(- D 2 )-(- E 2 )-2=0

⇒

D=-6 E=-8 F=24

，…5分
所以⊙C方程为x²+y²-6x-8y+24=0．…6分
（2）：由

(x-3)2+(y-4)2=1 y=kx+3

⇒(1+k2)x2-(6+2k)x+9=0，…8分
因为直线y=kx+3与⊙C总有公共点，
则△=（6+2k）²-36（1+k²）≥0，…10分
解得0≤k≤

3

4

．…12分

点评：本题考查的知识点是圆的标准方程，直线与圆的位置关系，（1）的关键是根据已知构造方程组，（2）的关键是分析出联立方程后，消元得到的方程有根．