Question

观察下列等式：

1

3

+

2

3

=1；

7

3

+

8

3

+

10

3

+

11

3

=12；

16

3

+

17

3

+

19

3

+

20

3

+

22

3

+

23

3

=39；
…
则当n＜m且m，n∈N表示最后结果．

3n+1

3

+

3n+2

3

+…+

3m-2

3

+

3m-1

3

=

m²-n²

（最后结果用m，n表示最后结果）．

Answer 1

分析：通过观察，第一个式子为n=0，m=1．第二个式子为n=2，m=4．第三个式子为n=5，m=8，然后根据结果值和m，n的关系进行归纳得到结论．

解答：解：当n=0，m=1时，为第一个式子

1

3

+

2

3

=1，此时1=1²-0=m²-n²，
当n=2，m=4时，为第二个式子

7

3

+

8

3

+

10

3

+

11

3

=12；此时12=4²-2²=m²-n²，
当n=5，m=8时，为第三个式子

16

3

+

17

3

+

19

3

+

20

3

+

22

3

+

23

3

=39，此时39=8²-5²=m²-n²，
由归纳推理可知观察下列等式：

3n+1

3

+

3n+2

3

+…+

3m-2

3

+

3m-1

3

=m²-n²．
故答案为：m²-n²

点评：通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题难度较大．