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如图,四棱锥P­ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2ADPD⊥底面ABCD
(1)证明:PABD;(2)设PDAD,求二面角APBC的余弦值.  

(1)只需证明BD2AD2AB2;(2)

解析试题分析:(1)因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得.
从而BD2AD2AB2,故BDAD
PD⊥底面ABCD,可得BDPD
所以BD⊥平面PAD.PABD.   6分
(2)如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DAx轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,,0),P(0,0,1).

=(-1,,0),=(0,,-1),=(-1,0,0).
设平面PAB的法向量为n=(xyz),则

因此可取n=(,1,).
设平面PBC的法向量为m,则
可取m=(0,-1,-),.
故二面角A­PB­C的余弦值为.           6分
考点:线面垂直的判定定理;线面垂直的性质定理;二面角。
点评:二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种:①综合法,综合法的一般步骤是:一作二说三求。②向量法,运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角,但结果往往求不对,出现的问题就是计算错误。

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

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(1)求证:平面平面
(2)求二面角的大小;
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平面上的射影恰好在上.

(1)证明:平面
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值.

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如图,为圆的直径,点在圆上,,矩形所在的平面与圆所在的平面互相垂直.已知,

(Ⅰ)求证:平面平面
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如图,是以为直径的半圆上异于的点,矩形所在的平面垂直于该半圆所在的平面,且

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①试证:
②若,求三棱锥的体积.

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如图,在四棱锥中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点.

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(2)平面BEF⊥平面PAD

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