Question

13．已知f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，当x＜0时，f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$，求f（x）在（-1，1）上的解析式．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质进行求解即可．

解答 解：若0＜x＜1，则-1＜-x＜0，则f（-x）=$\frac{{2}^{-x}}{{4}^{-x}+1}$=$\frac{{4}^{x}•{2}^{-x}}{1+{4}^{x}}$=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$，
∵f（x）是（-1，1）上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即f（x）=-$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$，x＞0，
同时f（0）=0，
则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}，}&{-1＜x＜0}\\{0，}&{x=0}\\{-\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}，}&{0＜x＜1}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性的定义和性质进行转化是解决本题的关键．