Question

14．如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，BC=CD=2，若E、F分别是边BC、AB上的点，且满足$\frac{BE}{BC}$=$\frac{AF}{AB}$=λ，当$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{DF}$=0时，则有（　　）

• A． λ∈（$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$）
• B． λ∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{8}$）
• C． λ∈（$\frac{3}{8}$，$\frac{1}{2}$）
• D． λ∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{8}$）

Answer 1

分析 由已知可得$＜\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{BC}＞=60°$，求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}、\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}、\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$的值，结合平面向量的运算法则及$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{DF}$=0求得λ值后得答案．

解答 解：等腰梯形ABCD中，AB=4，BC=CD=2，
可得$＜\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{BC}＞=60°$，
$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=4×2×\frac{1}{2}=4$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=4×2×（-\frac{1}{2}）=-4$，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=2×2×\frac{1}{2}=2$．
∵$\frac{BE}{BC}$=$\frac{AF}{AB}$=λ，
∴$\overrightarrow{BE}=λ\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{AB}$，
则$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{DF}$=$（\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{BC}）•（λ\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}）$=$λ|\overrightarrow{AB}{|}^{2}-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+{λ}^{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}-λ\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=0．
即16λ-4-4λ²-2λ=0，
∴2λ²-7λ+2=0，解得λ=$\frac{7+\sqrt{33}}{4}$（舍）或λ=$\frac{7-\sqrt{33}}{4}$∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{8}$）．
故选：B．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查平面向量的运算法则，是中档题．