Question

8．过点M（3，0）作直线l，交椭圆4x²+y²=16于A、B两点，若AO⊥OB，求直线l的方程．

Answer 1

分析 当直线l的斜率不存在时，不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-3），联立椭圆的方程，得（4+k²）x²-6k²x+9k²-16=0，由此利用根的判别式、根与系数关系、向量知识，结合已知条件能求出直线l的方程．

解答 解：当直线l的斜率不存在时，不满足题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-3），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-3）\\ 4{x}^{2}+{y}^{2}=16\end{array}\right.$，得（4+k²）x²-6k²x+9k²-16=0，
由根与系数关系得x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{9{k}^{2}-16}{4+{k}^{2}}$，
∵y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3），
∴y₁y₂=k²（x₁-3）•（x₂-3）=k^2_[x₁•x₂-3（x₁+x₂）+9]=$\frac{20{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{9{k}^{2}-16}{4+4{k}^{2}}$+$\frac{20{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$=0，
∴29k²-16=0，
解得k=±$\frac{4\sqrt{29}}{29}$，
∴直线l的方程是y=$\frac{4\sqrt{29}}{29}$（x-3）或y=-$\frac{4\sqrt{29}}{29}$（x-3）．

点评 本题考查椭圆方程和直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、根与系数关系、向量知识的合理运用．