Question

17．a、b、c是-个长方体的长、宽、高，且a+b-c=1．已知长方体对角线长为1，且a＞b，则高c的取值范围是（0，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 由已知得a²+b²+c²=1，a+b=1+c，b-a＞0，由此得到1-3c＞0，从而能求出高c的取值范围．

解答 解：∵长方体对角线长为1，∴a²+b²+c²=1，
∵a+b-c=1，∴a+b=1+c，
∴（a+b-c）²
=a²+b²+c²+2ab-2ac-2bc
=1+2ab-2ac-2bc=1
ab-ac-bc=0
ab-c（a+b）=0
ab=c（a+b）
b＞a，b-a＞0
∴$\sqrt{（b-a）^{2}}$=$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$
=$\sqrt{（a+b）^{2}-4c（a+b）}$
=$\sqrt{（a+b）（a+b-4c）}$
=$\sqrt{（a+b）（1-3c）}$＞0
∴1-3c＞0，
解得0＜c＜$\frac{1}{3}$．
∴高c的取值范围是（0，$\frac{1}{3}$）．
故答案为：（0，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查长方体的高的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意长方体的结构特征及性质的合理运用．