Question

已知函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log₂x
（1）求当x＜0时，求函数f（x）的表达式
（2）若g（x）=2^x（x∈R）集合A={x|f（x）≥2}，B={x|g（x）≥16或

2

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≤g(x)≤1}，试判断集合A和B的关系．

Answer 1

分析：（1）根据函数为奇函数可推断出f（-x）=-f（x）进而根据x＞0时函数的解析式，求得x＜0时，函数的解析式．
（2）根据f（x）和g（x）的解析式，根据对数函数和指数函数的单调性，利用集合的条件分别求得集合A和集合B，进而可判断出二者的关系．

解答：解：（1）∵函数f（x）为奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∵当x＞0时，f（x）=log₂x
∴当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-log₂（-x）
（2）f（x）≥2，
当x＞0时，f（x）=log₂x≥2，解得x≥4
当x＜0时，f（x）=-log₂（-x）≥2，解得-

1

4

≤x＜0，
∴集合A={x|-

1

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≤x＜0或x≥4}，
依题意2^x≥16，解得x≥4，

2

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≤2^x≤1解得-

1

2

≤x≤0
∴集合B={x|x≥4或-

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≤x≤0}，
∴A是B的真子集；

点评：本题主要考查了对数函数和指数函数的性质．考查了学生对对数函数综合性的把握和理解．