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若二次函数满足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围.
分析:(1)利用待定系数法求解.由二次函数可设f(x)=ax2+bx+c,由f(0)=1得c值,由f(x+1)-f(x)=2x可得a,b的值,从而问题解决;
(2)欲使在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,只须x2-3x+1-m>0,也就是要x2-3x+1-m的最小值大于0即可,最后求出x2-3x+1-m的最小值后大于0解之即得.
解答:解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1,
∴c=1,∴f(x)=ax2+bx+1
∵f(x+1)-f(x)=2x,∴2ax+a+b=2x,
2a=2
a+b=0
a=1
b=-1

∴f(x)=x2-x+1(5分)
(2)由题意:x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立,
即x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立g(x)=x2-3x+1-m=(x-
3
2
)2-
5
4
-m

其对称轴为x=
3
2
,∴g(x)在区间[-1,1]上是减函数,
∴g(x)min=g(1)=1-3+1-m>0,
∴m<-1(10分).
点评:本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于基础题.
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