Question

【题目】设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．
（1）若a=3，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值；
（2）若存在a∈（2，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=3，x∈[0，4]时，f（x）=x|x﹣3|+2x= ，

可知函数f（x）在区间[0， ]递增，在（ ，3]上是减函数，在[3，4]递增，

则f（ ）= ，f（4）=12，

所以f（x）在区间[0，4]上的最大值为f（4）=12

（2）解：f（x）= ，

①当x≥a时，因为a＞2，所以 ＜a．

所以f（x）在[a，+∞）上单调递增．

②当x＜a时，因为a＞2，所以 ＜a．

所以f（x）在（﹣∞， ）上单调递增，在[ ，a]上单调递减．

当2＜a≤4时，知f（x）在（﹣∞， ]和[a，+∞）上分别是增函数，

在[ ，a]上是减函数，

当且仅当2a＜tf（a）＜ 时，

方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数解．

即1＜t＜ = （a+ +4）．

令g（a）=a+ ，g（a）在a∈（2，4]时是增函数，

故g（a）max=5．

∴实数t的取值范围是（1， ）．

【解析】（1）求出f（x）的分段函数式，运用二次函数的性质，可得单调区间，求得最大值；（2）将x分区间进行讨论，去绝对值写出解析式，求出单调区间，将a分区间讨论，求出单调区间解出即可．