Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{3}{1+|x|}$，-1），$\overrightarrow{b}$=（1，-$\frac{3}{1+|x-2|}$），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，则下列命题正确的个数为（　　）个．
①f（x）的图象关于直线x=1对称；
②f（x）的值域为（0，4]；
③曲线f（x）在x=0，x=2处的切线方程均为y=4；
④f（x）的极值点的个数为3；
⑤方程f[f（x）]=$\frac{10}{3}$的实数解的个数为6．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根据绝对值的意义，运用分段函数表示函数f（x），对于①，将x换为2-x，计算即可判断；
对于②，由对称性和单调性，考虑（1，2），（2，+∞）的单调性，即可判断；对于③，运用极值点，即可判断；对于④，由单调性，即可判断；对于⑤，可令t=f（x），f（t）=$\frac{10}{3}$，由极值点，确定t的范围，进而确定x的范围．

解答 解：函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
=$\frac{3}{1+|x|}$+$\frac{3}{1+|x-2|}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6x}{{x}^{2}-1}，x≥2}\\{\frac{12}{（1+x）（3-x）}，0＜x＜2}\\{\frac{3（4-2x）}{（x-1）（x-3）}，x≤0}\end{array}\right.$；
对于①，由f（2-x）=$\frac{3}{1+|2-x|}$+$\frac{3}{1+|x|}$=f（x），
即有f（x）的图象关于直线x=1对称，故①正确；
对于②，由对称性，讨论x≥1的单调性和最值，
当1≤x＜2时，f（x）=$\frac{12}{（1+x）（3-x）}$=$\frac{12}{4-（x-1）^{2}}$递增，
当x≥2时，f（x）=$\frac{6}{x-\frac{1}{x}}$递减，即有f（2）取得最大值4，
且f（x）＞0，则f（x）的值域为（0，4]，故②正确；
对于③，由于x=0，x=2为极值点，
由图象可得，曲线f（x）在x=0，x=2处不存在切线，故③不正确；
对于④，函数的极值点为x=0，1，2，故④正确；
对于⑤，可令t=f（x），即有f（t）=$\frac{10}{3}$，由极值点（0，4），（1，3），（2，4），
可得t有4个，一个小于0，一个介于（0，1），一个介于（1，2），一个介于（2，3），
则t=f（x）的解x有6个，故⑤正确．
故选：C．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，考查函数的值域、对称性和单调性、极值点，考查函数和方程的转化思想，属于中档题．