Question

若函数f（x）=

x+3x，x≤0 1 3 x3-4x+ a 3 ，x＞0

在其定义域上只有一个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A、a＞16
• B、a≥16
• C、a＜16
• D、a≤16

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的零点

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：根据函数的单调性画出函数的图象，及题意其定义域R上有且只有一个零点，即可求出a的取值范围．

解答： 解：①当x≤0时，f（x）=x+3^x．
∵函数y=x与y=3^x在x≤0时都单调递增，
∴函数f（x）=x+3^x在区间（-∞，0]上也单调递增．
又f（-1）＜0，f（0）=1＞0，
∴函数f（x）在（-1，0）内有一个零点，如图所示．
②当x＞0时，f（x）=

1

3

x3-4x+

a

3

．
∴f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2）．
令f′（x）=0，且x＞0，解得x=2．
当0＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0．
∴函数f（x）在区间（0，2）上单调递减；在区间（2，+∞）上单调递增．
∴函数f（x）在x=2时求得极小值，也即在x＞0时的最小值．
∵函数f（x）在其定义域R上有且只有一个零点，且由（1）可知在区间（-1，0）内已经有一个零点了，所以在区间（0，+∞）上没有零点，
∴必须满足f（2）＞0，即

23

3

-8+

a

3

＞0，解得a＞16．
故选：A．

点评：利用导数得出函数的单调性并画出图象是解题的关键．