Question

（2013•嘉定区二模）设函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值；
（2）（理）若f(1)=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．
（文）若f（1）＜0，试说明函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数的定义：对任意x∈R，f（-x）=-f（x），或性质可得f（0）=0，由此求得k值．
（2）（理）利用换元法，将函数转化为二次函数，研究函数的单调性，得到函数g（x）取得最小值．利用条件，就可以求m的值．
（文）由f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得0＜a＜1，f（x）在R上单调递减，不等式化为f（x²+tx）＜f（x-4），即x²+（t-1）x+4＞0 恒成立，由△＜0求得t的取值范围．

解答：解：（1）由题意，对任意x∈R，f（-x）=-f（x），
即a^-x-（k-1）a^x=-a^x+（k-1）a^-x，
即（k-1）（a^x+a^-x）-（a^x+a^-x）=0，（k-2）（a^x+a^-x）=0，
因为x为任意实数，所以k=2． 
解法二：因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）=0，即1-（k-1）=0，k=2．
当k=2时，f（x）=a^x-a^-x，f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），f（x）是奇函数．
所以k的值为2．
（2）（理）由（1）f（x）=a^x-a^-x，因为f(1)=

3

2

，所以a-

1

a

=

3

2

，
解得a=2．
故f（x）=2^x-2^-x，g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x），
令t=2^x-2^-x，则2^2x+2^-2x=t²+2，由x∈[1，+∞），得t∈[

3

2

 ， +∞)，
所以g（x）=h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²，t∈[

3

2

 ， +∞)
当m＜

3

2

时，h（t）在[

3

2

 ， +∞)上是增函数，则h(

3

2

)=-2，

9

4

-3m+2=-2，
解得m=

25

12

（舍去）．
当m≥

3

2

时，则f（m）=-2，2-m²=-2，解得m=2，或m=-2（舍去）．
综上，m的值是2．
（2）（文）由（1）知f（x）=a^x-a^-x，由f（1）＜0，得a-

1

a

＜0，解得0＜a＜1．
当0＜a＜1时，y=a^x是减函数，y=-a^-x也是减函数，所以f（x）=a^x-a^-x是减函数．
由f（x²+tx）+f（4-x）＜0，所以f（x²+tx）＜-f（4-x），
因为f（x）是奇函数，所以f（x²+tx）＜f（x-4）．
因为f（x）是R上的减函数，所以x²+tx＞x-4即x²+（t-1）x+4＞0对任意x∈R成立，
所以△=（t-1）²-16＜0，
解得-3＜t＜5．
所以，t的取值范围是（-3，5）．

点评：本题考查指数型复合函数的性质以及应用，考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．