Question

阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=B有
代入③得 ．
（Ⅰ）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：；
（Ⅱ）若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A-cos2B=2sin²C，试判断△ABC的形状．
（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）

Answer 1

满分（12分）．
解法一：（Ⅰ）因为cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，①cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，②…（2分）
①-②得cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ．③…（3分）
令α+β=A，α-β=B有，
代入③得．…（6分）
（Ⅱ）由二倍角公式，cos2A-cos2B=2sin²C可化为1-2sin²A-1+2sin²B=2sin²C，…（8分）
即sin²A+sin²C=sin²B．…（9分）
设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
由正弦定理可得a²+c²=b²．…（11分）
根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形．…（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论和二倍角公式，cos2A-cos2B=2sin²C可化为-2sin（A+B）sin（A-B）=2sin²C，…（8分）
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π，
所以-sin（A+B）sin（A-B）=sin²（A+B）．
又因为0＜A+B＜π，所以sin（A+B）≠0，
所以sin（A+B）+sin（A-B）=0．
从而2sinAcosB=0．…（10分）
又因为sinA≠0，所以cosB=0，即．
所以△ABC为直角三角形．…（12分）
分析：（Ⅰ）通过两角和与差的余弦公式，令α+β=A，α-β=B有，即可证明结果．
（Ⅱ）解法一：利用二倍角公式以及正弦定理，即可判断三角形的形状．
解法二：利用（Ⅰ）中的结论和二倍角公式，cos2A-cos2B=2sin²C，以及A+B+C=π，
推出2sinAcosB=0.．得到△ABC为直角三角形
点评：本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等．