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5.已知函数f(x)=$\sqrt{{x}^{2}-2x+1}$+|x+a|.
(1)当a=2时,求f(x)的最小值;
(2)当x∈[$\frac{2}{3}$,1]时,f(x)≤x恒成立,求a的取值范围.

分析 (1)求得a=2时,f(x)的解析式,由绝对值不等式的性质:|a|+|b|≥|a-b|,即可得到所求最小值;
(2)由题意可得当x∈[$\frac{2}{3}$,1]时,f(x)=1-x+|x+a|≤x恒成立,即为g(x)=|x+a|-2x+1≤0在x∈[$\frac{2}{3}$,1]时恒成立,即g(x)max≤0,讨论x+a的符号,判断g(x)的单调性,即可得到最大值,解a的不等式,即可得到所求范围.

解答 解:(1)当a=2时,f(x)=|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3,
当(x-1)(x-2)≤0,即1≤x≤2时,可以取到等号,
故f(x)的最小值为3;
(2)由于f(x)=|x-1|+|x+a|,
当x∈[$\frac{2}{3}$,1]时,f(x)=1-x+|x+a|≤x恒成立,
变形为g(x)=|x+a|-2x+1≤0在x∈[$\frac{2}{3}$,1]时恒成立,即g(x)max≤0,
当x+a≥0时,g(x)=x+a-2x+1=-x+a+1,此时g(x)单调递减;
当x+a<0时,g(x)=-x-a-2x+1=-3x-a+1,此时g(x)仍单调递减.
由于g(x)图象连续,故g(x)在R上单调递减,
g(x)max=g($\frac{2}{3}$)=|a+$\frac{2}{3}$|-$\frac{1}{3}$≤0,
变形为-$\frac{1}{3}$≤a+$\frac{2}{3}$≤$\frac{1}{3}$,
解得a的范围是[-1,-$\frac{1}{3}$].

点评 本题考查含绝对值的函数的最值的求法,注意运用绝对值不等式的性质,考查不等式恒成立问题的解法,注意运用转化思想,分类讨论的思想方法,考查函数的单调性的运用,属于中档题.

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