Question

5．已知函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x+1}$+|x+a|．
（1）当a=2时，求f（x）的最小值；
（2）当x∈[$\frac{2}{3}$，1]时，f（x）≤x恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得a=2时，f（x）的解析式，由绝对值不等式的性质：|a|+|b|≥|a-b|，即可得到所求最小值；
（2）由题意可得当x∈[$\frac{2}{3}$，1]时，f（x）=1-x+|x+a|≤x恒成立，即为g（x）=|x+a|-2x+1≤0在x∈[$\frac{2}{3}$，1]时恒成立，即g（x）_max≤0，讨论x+a的符号，判断g（x）的单调性，即可得到最大值，解a的不等式，即可得到所求范围．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，
当（x-1）（x-2）≤0，即1≤x≤2时，可以取到等号，
故f（x）的最小值为3；
（2）由于f（x）=|x-1|+|x+a|，
当x∈[$\frac{2}{3}$，1]时，f（x）=1-x+|x+a|≤x恒成立，
变形为g（x）=|x+a|-2x+1≤0在x∈[$\frac{2}{3}$，1]时恒成立，即g（x）_max≤0，
当x+a≥0时，g（x）=x+a-2x+1=-x+a+1，此时g（x）单调递减；
当x+a＜0时，g（x）=-x-a-2x+1=-3x-a+1，此时g（x）仍单调递减．
由于g（x）图象连续，故g（x）在R上单调递减，
g（x）_max=g（$\frac{2}{3}$）=|a+$\frac{2}{3}$|-$\frac{1}{3}$≤0，
变形为-$\frac{1}{3}$≤a+$\frac{2}{3}$≤$\frac{1}{3}$，
解得a的范围是[-1，-$\frac{1}{3}$]．

点评 本题考查含绝对值的函数的最值的求法，注意运用绝对值不等式的性质，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，分类讨论的思想方法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．