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△ABC中,已知
3
tanAtanB-tanA-tanB=
3
,记角A,B,C的对边依次为a,b,c.
(1)求∠C的大小;
(2)若c=2,且△ABC是锐角三角形,求a2+b2的取值范围.
分析:(1)由已知中
3
tanAtanB-tanA-tanB=
3
,变形可得
tanA+tanB
1-tanAtanB
=-
3
,由两角和的正切公式,我们易得到A+B的值,进而求出∠C的大小;
(2)由c=2,且△ABC是锐角三角形,再由正弦定理,我们可以将a2+b2转化为一个只含A的三角函数式,根据正弦型函数的性质,我们易求出a2+b2的取值范围.
解答:解:(1)依题意:
tanA+tanB
1-tanAtanB
=-
3
,即tan(A+B)=-
3

又0<A+B<π,
A+B=
3
,∴C=π-A-B=
π
3

(2)由三角形是锐角三角形可得
A<
π
2
B<
π
2

π
6
<A<
π
2
由正弦定理得
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC

a=
c
sinC
×sinA=
4
3
sinA
b=
4
3
sinB=
4
3
sin(
3
-A)

a2+b2=
16
3
[sin2A+sin2(
3
-A)]=f(A)

a2+b2=
16
3
[sin2A+sin2B]
=
16
3
[
1
2
(1-cos2A)+
1
2
(1-cos2B)]

=
16
3
-
8
3
(cos2A+cos2B)
=
16
3
-
8
3
[cos2A+cos(
3
-2A)]

=
16
3
-
8
3
[cos2A+(-
1
2
)cos2A+(-
3
2
)sin2A]

=
16
3
-
8
3
[
1
2
cos2A-
3
2
sin2A]

=
16
3
+
8
3
sin(2A-
π
6
)

π
6
<A<
π
2
,∴
π
6
<2A-
π
6
6

1
2
<sin(2A-
π
6
)≤1
,即
20
3
a2+b2≤8
点评:本题考查的知识点是解三角形及两角和与差的正切函数,熟练掌握两角和(差)的正弦、余弦、正切函数式及其变形,是解答本题的关键.
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在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A,B,C成等差数列,且b=
3
c=
2
,则B=
 
,A=
 

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A、
π
3
B、
π
6
C、
3
D、
π
3
3

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在△ABC中,已知D是AB边上一点,
AD
=3
DB
CD
=
CA
CB
,则λ=
3
4
3
4

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120°
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