Question

已知向量

a

=（8cosα，2），

b

=（sinα-cosα，3），设函数f（α）=

a

•

b

．
（1）求函数f（α）的最大值；
（2）在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别问a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面积为3，b+c=2+3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积和倍角公式、两角和差的正弦公式及其正弦函数的单调性即可得出；
（2）利用f（A）=6，可得A，再利用三角形的面积公式及已知即可得出b，c，再利用余弦定理即可得出a．

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=8cosα（sinα-cosα）+6
=8sinαcosα-8cos²α+6
=4sin2α-4（1+cos2α）+2
=4

2

sin(2α-

π

4

)+2，
当且仅当sin(2α-

π

4

)=1时，函数f（α）取得最大值4

2

+2；
（2）由，解得f（A）=6，可得sin(2A-

π

4

)=

2

2

，
∵0＜A＜

π

2

，∴-

π

4

＜2A-

π

4

＜

3π

4

，∴2A-

π

4

=

π

4

，解得A=

π

4

．
又

1 2 bcsin π 4 =3 b+c=2+3 2

，解得

b=3 2 c=2

或

b=2 c=3 2

．
∴a2=b2+c2-2bccos

π

4

=(3

2

)2+22-2×3

2

×2×

2

2

=10，
∴a=

10

．

点评：熟练掌握向量的数量积和倍角公式、两角和差的正弦公式及其正弦函数的单调性、三角形的面积公式、余弦定理是解题的关键．