Question

（本小题满分12分）

已知：函数y＝f (x)的定义域为R，且对于任意的a，b∈R，都有f (a＋b)＝f (a)＋f (b)，且当x＞0时，f (x)＜0恒成立．

证明：（1）函数y＝f (x)是R上的减函数．

（2）函数y＝f (x)是奇函数．

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析；（2）见解析。

【解析】

试题分析：（1）设x₁＞x₂，则x₁－x₂＞0，而f (a＋b)＝f (a)＋f (b)，

所以f (x₁)＝f (x₁－x₂＋x₂)＝f (x₁－x₂)＋f (x₂)＜f (x₂)，

即f (x₁)＜f (x₂)，所以函数在R上是减函数．                   ……6分

（2）由f (a＋b)＝f (a)＋f (b)得：f (x－x)＝f (x)＋f (－x)，即f (x)＋f (－x)＝f (0)，而f (0)＝0，

所以f (－x)＝－f (x)，即函数f (x)是奇函数．                    ……12分

考点：本题考查抽象函数及其应用；函数奇偶性的判断．函数的单调性。

点评：本题以抽象函数的单调性证明为载体考查了函数的奇偶性的定义，其中利用“凑配法”得到f（0）=0及f（-x）=-f（x）是解答的关键．