Question

19．设函数f（x）=ax²-lnx（a∈R）．
（1）如果函数f（x）的图象不在x轴的下方，求实数a的取值范围．
（2）若方程f（x）-k=0在区间[$\frac{1}{e}$，e]内有两个不相等的实根．求实数a的范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-1}{x}$（x＞0），通过①当a≤0时，②当a＞0时，利用函数的单调性，分别求解函数的最小值，由题意可得f（x）≥0恒成立，解不等式即可得到a的范围；
（2）由（1）推出$\frac{1}{e}$＜$\sqrt{\frac{1}{2a}}$＜e，即可求出a的范围．

解答 解：（1）因为函数f（x）=ax²-lnx，
所以f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-1}{x}$（x＞0），
所以①当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，
故递减区间为（0，+∞），无最值；
②当a＞0时，递增区间为[$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，+∞），递减区间为（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$），
所以有最小值为f（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）=$\frac{1}{2}$[1+ln（2a）]．
由函数f（x）的图象不在x轴的下方，即为f（x）≥0恒成立，
即有$\frac{1}{2}$[1+ln（2a）]≥0，
解得a≥$\frac{1}{2e}$；
（2）由（1）可知，$\frac{1}{e}$＜$\sqrt{\frac{1}{2a}}$＜e，
所以$\frac{1}{2{e}^{2}}$＜a＜$\frac{{e}^{2}}{2}$．
故a的取值范围是（$\frac{1}{2{e}^{2}}$，$\frac{{e}^{2}}{2}$）．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，考查函数与方程的转化思想，考查分析问题解决问题的能力．