Question

已知n个四元集合，每两个有且只有一个公共元，并且有Card()＝n，试求n的最大值.这里CardA为集合A中元素的个数.

Answer 1

解析：考虑任一元a,如果每个均含有a,则由条件知,各中的其他元素都不相同,故()＝3n＋1＞n,与已知条件相违.因此必有一个不含a,不妨设a.若含a的集合不少于5个，那么，由已知条件得知，与这5个集合各有一个公共元（此元当然不等于a）,而且这5个元互不相同（若有相同的，则这个公共元是两个含a的集合的公共元，于是这两个集合就有两个公共元，又与已知条件相违），从而≥5，矛盾，所以含a的集合不多于4个.

   另一方面，因为＋＋＋…＋＝4n,所以每个元恰好属于4个集.不妨设含有元b的集合为，，，，则由上述的结论可知，（）＝3×4＋1＝13.如果n＞13,那么存在元c.

   设含c的集合为,则不是，，，，因而不含b.而与，，， 各有一个公共元（当然不是b）,这4个公共元互不相同（理由同上），又都不是c,从而≥5，因此n≤13.

   n≤13是可能的，例如，不难验证，如下13个集：｛0，1，2，3｝，｛0，4，5，6｝，｛0，7，8，9｝，｛0，10，11，12｝，｛10，1，4，7｝，｛10，2，5，8｝，｛10，3，6，9｝，｛11，1，5，9｝，｛11，2，6，7｝，｛11，3，4，8｝，｛12，1，6，8｝，｛12，2，4，9｝，｛12，3，5，7｝符合要求.故n的最大值为13.